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1+1=2:数学的原点

风华燃尽指尖砂 1年前   阅读数 123 0



 1+1=2 



这个最简单的公式,

就像是一场人类诞生的“简洁”庆典。




——节选自《人类最美的54个公式》



发现世界上最简单的公式1+1=2,意味着什么?


这个连三岁小孩都能秒懂的公式是人类文明诞生的起点,它昭示着自然数的诞生,引发持续数千年的数字大爆炸。数学创生的全部基本公理都蕴含其中。


而它究竟从何而来,又将引领人类向何而去?


人生识字忧患始,人类的所有烦恼,也是不是因为知道了1+1=2呢?





从老祖先开始追溯



早在远古时代,我们的老祖先就在储藏猎物、分配食物时,逐渐产生对数的感觉。


当2只牛、3只羊、5只猪摆在一块,只有这些东西可过冬时,强烈的求生欲使老祖先朦胧地意识到这其中有一种共性,并开始摆弄着自己仅有的10只手指计数。然而,从这种原始的抽象感觉到具体的“数”的概念的形成,却经历了极其漫长的历史岁月。


因此,当某位古代先祖第一个意识到“1+1=2”,从而认识到两个数相加得到另一个确定的数时,就发现了“数学”一个非常重要的性质——可加性,这是人类文明史上一个极其伟大的时刻。


如同钻木取火,1+1=2的最初使用也仅是迫不得已地为了生存,两者同样至少有着30万年的历史,造福人类,但自然数的形成却远比火的诞生有深远影响。


1+1=2,关于这个公式,最直观涉及到的就是自然数和加法。


我们已经无法考证,加法究竟是在何时被人类发明的,因为没有足够详细的文献记录,甚至可能没有文字。但加法的出现,无疑是为了在交换商品或战俘时进行运算。


“+”、“-”出现于中世纪。


据说,当时酒商在售出酒后,曾用横线标出酒桶里的存酒,而当桶里的酒又增加时,便用竖线条把原来画的横线划掉,于是就出现用以表示减少的“-”和用来表示增加的“+”。最后直到1630年,“+”作为运算符号才得到大家的公认。


而关于自然数的出现,却比“+”、“-”开始地更早,大约在1万年以前,冰河退却了。石器时代,那些马背上的游牧狩猎者,在中东的山内悄悄地开始了一种新的生活。他们摒弃掉凶横猎杀的本性,开始乖乖下田,播种,进行农耕,这时,如何记录日期、季节,如何计算收藏谷物数、种子数可难为住了这群四肢发达的壮汉。


特别是在尼罗河谷、底格里斯河与幼发拉底河流域,还发展起了更复杂的农业社会,这群刚进入新时代的农民还遇到了交纳租税的问题。显然,过去石器部落文化里总结的“一”、“二”、“三”、“多”已远远不够用了,人们迫切需要“数”有名称,而且计数必须更准确些。


然而,没有人见过自然数,也没有人知道它是怎么排列分布的。


它是用以计量事物的件数或表示事物次序的数,它的分布或许是兜兜转转一个圈,或许是螺旋交错缠绕式,或许是放射爆炸发散式的,不同选择就会有不同的数学世界。但最终数学世界最后选择的是图1-1“1、2、3、4、5……”这样一个不可逆的直线式的有序体系。


图1-1




如何巧用皮亚诺公理证明?



我们都知道1+1=2,但你是否有想过为什么1+1就等于2呢?


这个问题,不去深思还好,一深思就像鸡生蛋还是蛋生鸡这个难题一样,会把你绕得云里雾里,好在总会有那么几位具有哲学思维的数学家爱孜孜不倦地去思考、证明它。


而在这其中,意大利数学家皮亚诺用公理把自然数安放在了数学世界里面,用五条公理建立了一阶算术系统,可以用来推导出“1+1=2”这一数学世界的原点。


公理1:0是自然数。


茫茫的数学宇宙里,如图1-2所示,从此有了第一个身影存在——0。


图1-2


公理2:每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a',a'也是自然数。



那么,这个自然数起点“0”是怎么爆发的呢?后继陪伴者会以什么样的形式出现?调皮地围着0四处发散,或是偷偷地跑到0的后面,亦或是狠心地留0一个数在那?


公理2做出了选择,让偌大的数学空间中,出现的每个数都拥有着一个确定的后继数陪伴着自己,如图1-3:


图1-3


公理3:0不是任何自然数的后继数。


为了避免后继者不守规矩跑到0的跟前,公理3确定了0必须也只能是自然数的第一个数。但是防不胜防,这群后继者可能也没那么安分,他们还可能因为同一个姑娘争风吃醋。也就是说,有可能3的后继数3' = 3,也可能2的后继数2' = 3。如下图1-4,出现这种情况:


图1-4


公理4:不同的自然数有不同的后继数。


为避免上述情况,公理4赶忙着出来定义,如果n与m均为自然数且n ≠ m,那么n' ≠ m';如果b、c均为自然数,且b' = c' ,那么b = c;同一个自然数的后继数相等,不同自然数的后继数不相等,这样,3就不可能既是2的后继数,也是3的后继数了。但如果出现图1-5里2.5这样的数呢?


图1-5


为了干掉2.5这样非自然数的出现,公理5冒泡了。


公理5:假定P(n)是自然数的一个性质,如果P(0)是对的,且假定P(n)是正确的,则P(n')也是真的,那么命题对所有自然数都为真。


它还有另外一种形式:设S是自然数集的一个子集,且满足(i)0属于S;(ii)如果n属于S,那么n'也属于S;则S是包含全体自然数的集合,即S = N。


这里的说法可能会有点“绕”,读者可能不是很理解。具体细剖,这是数学中的归纳公理,也就是说如果有一个自然数的性质,那么所有自然数都将满足这个性质,不满足的就不是自然数。这样,我们可以定义自然数系:存在一个自然数系N,称其元素为自然数,当且仅当这些元素满足公理1-5。


再定义加法是满足以下两种规则的运算:


1. 对于任意自然数m,0 + m = m;

2. 对于任意自然数m和n,n' + m = (n + m)'。


这样,我们就可以证明1+1=2:


1 + 1 = 0' + 1 = (0 +1)' = 1' = 2;

或者,1 + 1 = 0' + 0' = 0'' = 2。


或者,因为1+1的后继数是1的后继数的后继数,即3;又因为2的后继数也是3,根据皮亚诺公理4,不同自然数的后继数不同,所以1+1=2。


这样,根据皮亚诺五条公理建立起来的皮亚诺一阶算术系统,我们就推导出了1+1=2。




哥德巴赫猜想

另一个“(1+1)”



推导出1+1为什么等于2,并不能为难那些脑路清晰,异于常人的数学家们。怎么解决世间另一个“1+1”,这才是这群数学家的心头痛。


哥德巴赫猜想,是数学皇冠上一颗可望不可即的“明珠”,堪称世界近代三大数学难题之一。


大概在18世纪左右,德国一富家子弟哥德巴赫,厌倦了锦衣玉食的生活,不顾家人阻拦,偏要跑去一名中学教师,还从此一发不可收拾地爱上数学,就连晚上回家休息,也在捣鼓着阿拉伯数字。而他生平最喜欢玩的游戏竟是加法运算,而且还在玩加法游戏的过程中发现了一个奥妙:任何大于5的奇数都是三个素数之和。


但令他无奈的是,他越玩越失败,怎样也无法证明自己的发现。后来,只能求助于当时数学界的权威大咖欧拉。


1742年6月7日,哥德巴赫写信给欧拉,提出:任何大于5的奇数都是三个素数之和。随便取个奇数77,可写成三个素数之和,77=53+17+7;再任取一个奇数461,461=449+7+5,也是三个素数之和,461还可以写成257+199+5,仍然是三个素数之和。


没想到独眼巨人欧拉居然也被这个问题给为难住了,1742年6月30日,欧拉给哥德巴赫回信:这个命题看来是正确的,但是他也给不出严格的证明。为了挽回下自己居然也给不出证明的面子,狡猾的欧拉同时还提出了另一个等价命题:任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。但这个命题他也没能给予出证明。


而这样一个“任一充分大的偶数,都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数,与另一个素因子不超过b个的数之和”命题,就被统记作“a+b”,哥德巴赫猜想(也称哥德巴赫-欧拉猜想),也就被称为另一个“(1+1)”。




二进制世界里的1+1



在德国图灵根著名的郭塔王宫图书馆,有一份弥足珍贵的手稿,它的标题为:


“1与0,一切数字的神奇渊源。这是造物的秘密美妙的典范,因为,一切无非都来自上帝。”


这是德国天才大师莱布尼茨的手迹,他用几页异常精炼的描述,发明了一个神奇美妙的数字系统——二进制,他告诉我们,1 + 1 ≠ 2,在计算机代码世界里,1 + 1 = 10。


二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2,进位规则是“逢二进一”,借位规则是“借一当二”。当前的计算机系统使用的基本上就是二进制系统,数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。


可以说,从20世纪第三次科技革命爆发以来,人类就开始进入了计算机时代,我们在虚拟的网络里游戏、社交、狂欢。到现在21世纪,开始致力于人工智能的开发,而这些东西本质上都是由计算机实现的。


而未来,完全身处于数字时代的我们,必将被二进制代码全身笼罩,这个世界,1+1就只可能等于2吗?




结语

回到最初的原点



不管是现实生活中简明易懂的1 + 1 = 2,或是数论世界里令人绞尽脑汁的“1 + 1”,还是虚拟世界里的1+1=10,都以其自身的客观性和普适性在时间的岁月里不证自明,让人类能以其为始,在接受这些公式和定理的条件下,继续用理性的方法推导衍生出万事万物。并在万事万物中,能轻易地窥视其踪迹。


欲罢不能的王者荣耀是由0和1的代码编写运行;

置放苹果的天秤则完全满足可加性的量;

总质量总是等于每个物体的质量之和;

……


1+1=2撑起了人类理性世界的基本运转,跨越人类文明始终,不需要名称,不需要翻译,也不需要解释。


它无处不在,藏匿于天地之间,本身就拥有着妙不可言的美感。




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本期编辑|Hypercube

本期投稿|李卍




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