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(十五):常用的十种算法(下)

酒醉人心碎 5月前   阅读数 58 0

1.普里姆算法

1.1普利姆算法应用场景

在这里插入图片描述

有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ,现在需要修路把7个村庄连通
各个村庄的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 5公里
问:如何修路保证各个村庄都能连通,并且总的修建公路总里程最短?

1.2最小生成树

修路问题本质就是最小生成树问题,什么是最小生成树呢?给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有的边的权的总和最小,这叫做最小生成树。

  • N个顶点,一定有N-1条边
  • 包含全部顶点
  • N-1条边都在图中
  • 举例如下:
    在这里插入图片描述

1.3普利姆算法介绍

普利姆(Prim)算法求最小生成树,也就是在包含n个顶点的连通图中,找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图,也就是所谓的极小连通子图
普利姆的算法如下:
1、设G=(V,E)是连通网,T=(U,D)是最小生成树,V,U是顶点集合,E,D是边的集合
2、若从顶点u开始构造最小生成树,则从集合V中取出顶点u放入集合U中,标记顶点v的visited[u]=1
3、若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边,则寻找这些边中权值最小的边,但不能构成回路,将顶点vj加入集合U中,将边(ui,vj)加入集合D中,标记visited[vj]=1
4、重复步骤②,直到U与V相等,即所有顶点都被标记为访问过,此时D中有n-1条边

1.4代码

public class PrimAlgorithum {
     
    public static void main(String[] args) {
     
        //测试图是否创建ok
        char[] data=new char[]{
     'A','B','C','D','E','F','G'};
        int verxs=data.length;
        //临接矩阵的关系使用二维数组来表示
        //使用比较大的数,表示不连通
        int[][] weight=new int[][]{
     
                {
     10000,5,7,10000,10000,10000,2},
                {
     5,10000,10000,9,10000,10000,3},
                {
     7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
                {
     10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
                {
     10000,10000,8,10000,10000,5,4},
                {
     10000,10000,10000,4,5,10000,6},
                {
     2,3,10000,10000,4,6,10000}
        };
        //创建一个MGraph对象
        MGraph mGraph=new MGraph(verxs);
        //创建一个MinTree对象
        MinTree minTree=new MinTree();
        minTree.createGraph(mGraph,verxs,data,weight);
        minTree.showGraph(mGraph);
        //测试算法
        minTree.prim(mGraph,1);

    }
}
//创建最小生成树
class MinTree{
     
    //创建图的邻接矩阵
    /** * * @param graph 图对象 * @param vertex 图对应的顶点个数 * @param data 图的各个顶点的值 * @param weight 图的邻接矩阵 */
    public void createGraph(MGraph graph,int vertex,char data[],int[][] weight){
     
        //int i,j;
        for (int i=0;i<vertex;i++){
     
            graph.data[i]=data[i];
            for (int j=0;j<vertex;j++){
     
                graph.weight[i][j]=weight[i][j];
            }

        }

    }
    //显示图的方法
    public void showGraph(MGraph graph){
     
        for (int[] link:graph.weight){
     
            System.out.println(Arrays.toString(link));

        }
    }
    //编写prim算法,得到最小生成树
    /** * * @param graph 图 * @param v 表示从图的第几个顶点开始 ‘A’->0 'B'->1... */
    public void prim(MGraph graph,int v){
     
        //这个数组表示的是结点是否被访问过
        int visited[]=new int[graph.verx];
        //默认元素的值都是0,表示没有访问过
        //先把当前这个结点标记为已经访问
        visited[v]=1;
        //h1和h2记录两个顶点的下标
        int h1=-1;
        int h2=-1;
        int minWeight=10000;//将这个初始称为最大的数,后面的遍历过程中会被替换
        for (int k=1;k<graph.verx;k++){
     //因为有这么多个顶点,普利姆算法结束后,有graph.verx-1条边
            //这个是确定每一次生成的子图,和哪个结点的距离最近
            for (int i=0;i<graph.verx;i++){
     //i结点表示被访问过的结点
                for (int j=0;j<graph.verx;j++){
     //表示没有被访问过的结点
                    if (visited[i]==1&&visited[j]==0&&graph.weight[i][j]<minWeight){
     
                        //寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边
                        minWeight=graph.weight[i][j];
                        h1=i;
                        h2=j;
                    }
                }
            }
            //找到一条边是最小的
            System.out.println("边<"+graph.data[h1]+","+graph.data[h2]+">权值:"+minWeight);
            //将当前这个结点标记为已经访问
            visited[h2]=1;
            //从新设置为最大值
             minWeight=10000;
        }
    }
}
class MGraph{
     
    int verx;//表示图的节点个数
    char[] data;//表示存放节点的数据
    int[][] weight;//存放边,这就是我们的临接矩阵
    public MGraph(int verx){
     
        this.verx=verx;
        data=new char[verx];
        weight=new int[verx][verx];
    }
}

2.克鲁斯卡尔算法

2.1克鲁斯卡尔算法介绍

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法,是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想:按照权值从小到大的顺序选择n-1条边,并保证这n-1条边不构成回路
具体做法:首先构造一个只含n个顶点的森林,然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中,并使森林中不产生回路,直至森林变成一棵树为止

2.2应用场景

某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ,现在需要修路把7个站点连通,各个站点的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 12公里,问:如何修路保证各个站点都能连通,并且总的修建公路总里程最短?

在这里插入图片描述

2.3克鲁斯卡尔算法图解说明

在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边,构成一棵极小联通子图,并使该联通子图中n-1条边上权值之和达到最小,则称其为联通网的最小生成树。
例如对2.2图中的连通网可以有多颗权值总和不相同的生成树。
在这里插入图片描述
下面开始对克鲁斯卡尔算法进行演示。
在这里插入图片描述
第1步:将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步:将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后,边<C,D>的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步:将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后,边<D,E>的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步:将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后,边<C,E>的权值最小,但<C,E>会和已有的边构成回路;因此,跳过边<C,E>。同理,跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步:将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后,边<E,G>的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步:将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后,边<F,G>的权值最小,但<F,G>会和已有的边构成回路;因此,跳过边<F,G>。同理,跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时,最小生成树构造完成!它包括的边依次是:<E,F> <C,D><D,E> <B,F><E,G><A,B>。

2.4克鲁斯卡尔算法分析

根据2.3的图解我们知道克鲁斯卡尔的基本思想和做法,需要着重解决的是以下两个问题。
问题一:对图中的所有的边按照权值大小进行排序。
问题二:将边添加到最小生成树的时候,怎么判断是否形成了回路。
对于问题一,很好解决,排序不就得了嘛。
对于问题二,处理方式是:记录顶点在最小生成树中的终点,顶点的终点是在最小生成树中与他连通的最大顶点。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时,判断该边的两个顶点的终点是否重合。重合的话,构成回路。举例说明如下:
在这里插入图片描述
在将<E,F><C,D><D,E>加入最小生成树R中之后,这几条边的顶点都有了终点。
在这里插入图片描述
关于终点的说明:
1、就是将所有的顶点按照从小到大的顺序排列好之后:某顶点的终点就是与它连通的最大顶点。
2)因此,接下来,虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F,即它们的终点相同,因此,将<C,E>加入最小生成树的话,会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说,我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点,否则将构成回路。

2.5代码

public class KruskalCase {
     
    private int edgeNum;//记录边的个数
    private char[] vertex;//顶点数组
    private int[][] matrix;//临接矩阵
    private static final int INF=Integer.MAX_VALUE;
    public static void main(String[] args) {
     
        char[] vertexs={
     'A','B','C','D','E','F','G'};
        int matrix[][]={
     
                {
     0,12,INF,INF,INF,16,14},
                {
     12,0,10,INF,INF,7,INF},
                {
     INF,10,0,3,5,6,INF},
                {
     INF,INF,3,0,4,INF,INF},
                {
     INF,INF,5,4,0,2,8},
                {
     16,7,6,INF,2,0,0},
                {
     14,INF,INF,INF,8,9,0},
        };
        //创建一个克鲁斯卡尔实例
        KruskalCase kruskalCase=new KruskalCase(vertexs,matrix);
        kruskalCase.print();
// EData[] edges=kruskalCase.getEdges();
// kruskalCase.sortEdges(edges);
//
// System.out.println(Arrays.toString(edges));
        kruskalCase.kruskal();


    }
    //构造器
    public KruskalCase(char[] vertex,int[][] matrix){
     
        //初始化定点数和边的个数
        int vlen=vertex.length;
        //初始化顶点
        this.vertex=new char[vlen];
        for (int i=0;i<vertex.length;i++){
     
            this.vertex[i]=vertex[i];
        }
        //初始化边,使用的是赋值拷贝的方式
        this.matrix=new int[vlen][vlen];
        for (int i=0;i<vlen;i++){
     
            for (int j=0;j<vlen;j++){
     
                this.matrix[i][j]=matrix[i][j];
            }
        }
        //统计边
        for (int i=0;i<vlen;i++){
     
            for (int j=i+1;j<vlen;j++){
     
                if (this.matrix[i][j]!=INF){
     
                    edgeNum++;
                }
            }
        }
    }
    public void kruskal(){
     
        int index=0;//表示最后结果数组的索引
        int[] ends=new int[edgeNum];//用于保存已有最小生成树中的每个顶点在最小生成树中的终点
        //创建结果数组,保存我们最后的最小生成树
        EData[] rets=new EData[edgeNum];
        //先获取途中所有的边的集合,一共有12条边
        EData[] edges=getEdges();
        System.out.println("获取图的边的集合="+Arrays.toString(edges)+"共"+edges.length);
        //按照边的权值去排序(从小到大)
        sortEdges(edges);
        //遍历edges数组,将边加入最小生成树中,判断准备加入的边是否构成回路,如果没有,就加入rets,否则就不加入
        for (int i=0;i<edgeNum;i++){
     
            //获取第i条边的第一个顶点(起点)
            int p1=getPosition(edges[i].start);
            //获取到第i条边的第2个顶点
            int p2=getPosition(edges[i].end);
            //获取p1这个顶点在已有的最小生成树中对应的终点是哪个
            int m=getEnd(ends,p1);
            //获取p2这个顶点以后的最小生成树中的终点
            int n=getEnd(ends,p2);
            //是否构成回路
            if (m!=n){
     
                //没有构成回路
                ends[m]=n;//设置m在已有最小生成树的终点
                rets[index++]=edges[i];//有一条边加入
            }
        }
        //统计并打印最小生成树,输出rets
        System.out.println("最小生成树为=");
        for (int i=0;i<index;i++){
     
            System.out.println(rets[i]);
        }
    }
    //打印邻接矩阵
    public void print(){
     
        System.out.println("临接矩阵为:");
        for (int i=0;i<vertex.length;i++){
     
            for (int j=0;j<vertex.length;j++){
     
                System.out.printf("%12d\t",matrix[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
    }
    /** * * @param ch 顶点的值,比如‘A’,‘B’ * @return 返回两个顶点的坐标 */
    private int getPosition(char ch){
     
        for (int i=0;i<vertex.length;i++){
     
            if (vertex[i]==ch){
     
                return i;
            }
        }
        //找不到,返回-1即可
        return -1;
    }
    /** * 功能:获取途中的边,放到EData[]数组中,后面我们需要遍历该组 * 是通过matrix:临接矩阵来获取 * EData[]:[['A','B',12]...] * @return */
    private EData[] getEdges(){
     
        int index=0;
        EData[] edges=new EData[edgeNum];
        for (int i=0;i<vertex.length;i++){
     
            for (int j=i+1;j<vertex.length;j++){
     
                if (matrix[i][j]!=INF){
     
                   edges[index++]=new EData(vertex[i],vertex[j],matrix[i][j]);
                }
            }
        }
        return edges;
    }
    //对边进行排序处理,使用冒泡吧
    /** * 功能:对边进行排序处理,冒泡排序 * @param edges 边的集合 */
    private void sortEdges(EData[] edges){
     
        //
        for (int i=0;i<edges.length-1;i++){
     
            for (int j=0;j<edges.length-1-i;j++){
     
                if (edges[j].weight>edges[j+1].weight){
     
                    EData temp=edges[j];
                    edges[j]=edges[j+1];
                    edges[j+1]=temp;

                }
            }
        }
    }
    /** * 功能:获取下标为i的顶点的终点(),用于后面判断两个顶点的终点是否相同 * @param ends :记录了各顶点对应的终点是哪个。ends数组是在遍历过程中逐步形成的,不是异步到位的 * @param i :表示传入的顶点对应的下标 * @return 返回的就是下标为i的这个顶点对应的终点的下标 */
    private int getEnd(int[] ends,int i){
     
        while (ends[i]!=0){
     
            i=ends[i];
        }
        return i;
    }
}
//创建一个类EData,他的对象的实例表示一条边
class EData {
     
    char start;//边的一个点
    char end;//边的另外一个点
    int weight;//权值

    //构造器
    public EData(char start, char end, int weight) {
     
        this.start = start;
        this.end = end;
        this.weight = weight;
    }

    //重写一下toString
    @Override
    public String toString() {
     
        return "EData{" +
                "start=" + start +
                ", end=" + end +
                ", weight=" + weight +
                '}';
    }

}

3.迪杰斯特拉算法

3.1迪杰斯特拉算法介绍

迪杰斯特拉算法是典型的最短路径算法,用于计算一个节点到其他节点的最短路径。它的主要特点是以起始点为中心向外层层层扩展(广度优先搜索思想),直到扩展到终点为止。

3.2应用场景

在这里插入图片描述
l1)战争时期,胜利乡有7个村庄(A,B,C,D,E,F,G),现在有六个邮差,从G点出发,需要分别把邮件分别送到A,B,C , D, E, F六个村庄。
2)各个村庄的距离用边线表示(权),比如A- B距离5公里
3)问:如何计算出G村庄到其它各个村庄的最短距离?
4)如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?

3.3迪杰斯特拉算法过程

Il)设置出发顶点为v,顶点集合V{vl,v2,vi…},v到V中各顶点的距离构成距离集合Dis,Dis:dl,d2, …,Dis集合记录着v到图中各顶点的距离(到自身可以看作0,v到vi距离对应为di)
2)从Dis 中选择值最小的di并移出 Dis集合,同时移出V集合中对应的顶点vi,此时的v到vi即为最短路径。
3)更新Dis集合,更新规则为:比较v到V集合中顶点的距离值,与v通过vi到V集合中顶点的距离值,保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为vi,表明是通过vi到达的)
4)重复执行两步骤,直到最短路径顶点为目标顶点即可结束。
示例图如下:
在这里插入图片描述

3.4代码

public class DijkstraAlgorithm {
     
    public static void main(String[] args) {
     
        char[] vertex={
     'A','B','C','D','E','F','G'};
        //临接矩阵
        int[][] matrix=new int[vertex.length][vertex.length];
        final int N=65535;//表示不可连接
        matrix[0]=new int[]{
     N,5,7,N,N,N,2};
        matrix[1]=new int[]{
     5,N,N,9,N,N,3};
        matrix[2]=new int[]{
     7,N,N,N,8,N,N};
        matrix[3]=new int[]{
     N,9,N,N,N,4,N};
        matrix[4]=new int[]{
     N,N,8,N,N,5,4};
        matrix[5]=new int[]{
     N,N,N,4,5,N,6};
        matrix[6]=new int[]{
     2,3,N,N,4,6,N};
        Graph graph=new Graph(vertex,matrix);
        //输出
        graph.showGraph();
        graph.dsj(6);
        graph.showDijkstra();
    }
}
//创建图
class Graph{
     
    private char[] vertex;//顶点数组
    private int[][] matrix;//临接矩阵
    private VisitedVertex vv;//已经访问的各顶点的集合
    public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {
     
        //直接接收吧!
        this.vertex = vertex;
        this.matrix = matrix;
    }
    //显示最后的结果
    public void showDijkstra(){
     
        vv.show();
    }
    //显示图的方法
    public void showGraph(){
     
         for (int[] link:matrix){
     
             System.out.println(Arrays.toString(link));
         }
    }
    //迪杰斯特拉算法
    /** * * @param index 表示出发顶点对应的下标 */
    public void dsj(int index){
     
         vv=new VisitedVertex(vertex.length,index);
         update(index);//更新index下标顶点到周围的顶点的距离和前驱顶点
         for (int j=1;j<vertex.length;j++){
     
             index=vv.updateArr();//选择并返回新的访问顶点
             update(index);//更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
         }
    }
    //更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点
    private void update(int index){
     
        int len=0;
        //根据遍历我们的邻接矩阵的matrix[index]行
        for(int j=0;j<matrix[index].length;j++){
     
            //len含义是:出发顶点到index顶点的距离+从index到j距离的和
            len=vv.getDis(index)+matrix[index][j];
            //如果j顶点没有被访问过,并且len小于出发顶点到j顶点的距离,就需要更新
            if (!vv.in(j)&&len<vv.getDis(j)){
     
                vv.updatePre(j,index);//更新j的前驱结点为index顶点
                vv.updateDis(j,len);//更新出发顶点到j的距离
            }
        }
    }
}
//已经访问的顶点的集合
class VisitedVertex{
     //已经访问的顶点的集合
    public int[] already_arr;
    public int[] pre_visited;//每个下标对应的值为前一个顶点的下标,会动态更新
    public int[] dis;//记录出发顶点到其他所有的顶点的距离,如G为出发顶点 这就记录G到其他顶点的距离,会动态更新,求最短的距离就会放进去

    /** * * @param length 顶点的个数 * @param index 出发顶点对应的下标,比如G点,下标就是6 */
    public VisitedVertex(int length,int index){
     
        this.already_arr=new int[length];
        this.pre_visited=new int[length];
        this.dis=new int[length];
        //初始化dis数组
        Arrays.fill(dis,65535);
        this.already_arr[index]=1;//设置出发顶点被访问过
        //设置出发顶点到自己的访问距离是0
        this.dis[index]=0;
    }

    /** * 功能:判断index顶点是否被访问过 * @param index * @return 访问过 true 否则 false */
    public boolean in(int index){
     
        return already_arr[index]==1?true:false;
    }

    /** * 功能:更新出发顶点到index顶点的距离 * @param index * @param len */
    public void updateDis(int index,int len){
     
        dis[index]=len;//记录距离呗
    }
    /** * 功能:更新pre顶点的前驱为index的结点 * @param pre * @param index */
    public void updatePre(int pre,int index){
     
        pre_visited[pre]=index;

    }
    /** * 功能:返回出发顶点到index顶点的距离 * @param index */
    public int getDis(int index){
     
        return dis[index];
    }
    //继续选择并返回新的访问顶点,比如这里的G完后,就是A作为新的访问顶点(注意不是出发顶点)
    /** * * @return */
    public int updateArr(){
     
        int min=65535,index=0;
        for(int i=0;i<already_arr.length;i++){
     
            if (already_arr[i]==0&&dis[i]<min){
     
                min=dis[i];
                index=i;
            }
        }
        //更新index顶点被访问过
        already_arr[index]=1;
        return index;
    }
    //显示最后的结果
    //即将三个数组的情况输出
    public void show(){
     
        System.out.println("=========");
        //输出
        for (int i:already_arr){
     
            System.out.print(i+" ");
        }
        //输出前驱顶点是哪些
        for (int i:pre_visited){
     
            System.out.print(i+" ");
        }
        //输出dis
        for (int i:dis){
     
            System.out.print(i+" ");
        }
        //为了最后好看
        char[] vertex={
     'A','B','C','D','E','F','G'};
        int count=0;
        for (int i:dis){
     
            if (i!=65535){
     
                System.out.print(vertex[count]+"("+i+")");
            }else {
     
                System.out.print("N");
            }
            count++;
        }
        System.out.println();
    }
}

4.弗洛伊德算法

4.1算法介绍

和迪杰斯特拉算法一样,弗洛伊德算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法以创始人之一、1978年图领奖获得者、斯坦福大学计算机系教授罗伯特.弗洛伊德命名。弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径。迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
弗洛伊德算法VS 迪杰斯特拉算法:迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点,求出从出发访问顶点到其他顶点的最短路径;弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点,所以需要将每一个顶点看做被访问顶点,求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径。

4.2弗洛伊德算法分析

l)设置顶点vi到顶点vk的最短路径已知为Lik,顶点vk到vj的最短路径已知为Lkj,顶点 vi到vj的路径为Lij.则vi到vj的最短路径为: min((Lik+Lkj),Lij),vk的取值为图中所有顶点,则可获得vi到vj的最短路径。
2)至于vi到vk的最短路径Lik或者v到vj的最短路径Lkj,是以同样的方式获得。
3)弗洛伊德算法图解分析
在这里插入图片描述
弗洛伊德算法步骤:

  • 第一轮循环中,以A(下标为: 0)作为中间顶点【即把A作为中间顶点的所有情况都进行遍历,就会得到更新距离表和前驱关系】,距离表和前驱关系更新为:
    在这里插入图片描述
    分析如下:
    l)以A顶点作为中间顶点是,B->A->C的距离由N->9,同理C到B;C->A->G的距离由N->12,同理G到C
    2)更换中间顶点,循环执行操作,直到所有顶点都作为中间顶点更新后,计算结束
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

4.3代码

public class FloydAlgorithm {
     
    public static void main(String[] args) {
     
        char[] vertex={
     'A','B','C','D','E','F','G'};
        //创建临接矩阵
        int[][] matrix=new int[vertex.length][vertex.length];
        final int N=65535;
        matrix[0]=new int[]{
     0,5,7,N,N,N,2};
        matrix[1]=new int[]{
     5,0,N,9,N,N,3};
        matrix[2]=new int[]{
     7,N,0,N,8,N,N};
        matrix[3]=new int[]{
     N,9,N,0,N,4,N};
        matrix[4]=new int[]{
     N,N,8,N,0,5,4};
        matrix[5]=new int[]{
     N,N,N,4,5,0,6};
        matrix[6]=new int[]{
     2,3,N,N,4,6,0};
        //创建一个图对象
        Graph graph=new Graph(vertex.length,matrix,vertex);
        graph.floyd();
        graph.show();
    }
}
//创建图
class Graph{
     
    private char[] vertex;//存放各个顶点的数组
    private int[][] dis;//保存从各个顶点到其他顶点的距离,最后的结果保留在该数组中
    private int[][] pre;//保存到大目标顶点的前驱结点
    //构造器

    /** * * @param length 大小 * @param matrix 临接矩阵 * @param vertex 顶点数组 */
    public Graph(int length,int[][] matrix,char[] vertex){
     
        this.vertex=vertex;
        this.dis=matrix;
        this.pre=new int[length][length];
        //对pre进行初始化,注意存放的是前驱顶点的下标
        for (int i=0;i<length;i++){
     
            Arrays.fill(pre[i],i);
        }

    }
    //显示pre数组和dis数组
    public void show(){
     
        //为了便于阅读,我们优化一下输出

        for (int k=0;k<dis.length;k++){
     
            //先将pre数组输出
            for (int i=0;i<dis.length;i++){
     
                System.out.print(vertex[pre[k][i]]+" ");
            }
            System.out.println();
            //输出dis数组的一行数据
            for (int i=0;i<dis.length;i++){
     
                System.out.print("("+vertex[k]+"到"+vertex[i]+"的最短路径是"+dis[k][i]+") ");
            }
            System.out.println();
            System.out.println();
        }
    }
    //弗洛伊德算法
    public void floyd(){
     
        int len=0;//记录这个变量保存距离的
        //对中间顶点的遍历,k就是中间顶点的下标
        for(int k=0;k<dis.length;k++){
     
            //从i顶点开始出发
            for (int i=0;i<dis.length;i++){
     
                //到大j顶点,经过
                for (int j=0;j<dis.length;j++){
     
                    len=dis[i][k]+dis[k][j];
                    if (len<dis[i][j]){
     //如果len小于dis[i][j]
                        dis[i][j]=len;//更新距离
                        pre[i][j]=pre[k][j];
                    }
                }

            }
        }

    }

}

5.马踏棋盘算法

5.1算法介绍

1)马踏棋盘算法也被称为骑士周游问题。
2)将马随机放在国际象棋的8×8棋盘Board[0~ 7][0~7]的某个方格中,马按走棋规则(马走日字)进行移动。要求每个方格只进入一次,走遍棋盘上全部64个方格。
在这里插入图片描述

5.2马踏棋盘算法代码实现

1)马踏棋盘问题(骑士周游问题)实际上是图的深度优先搜索(DFS)的应用。
2)如果使用回溯(就是深度优先搜索)来解决,假如马儿踏了53个点,如图:走到了第53个,坐标(1,0),发现已经走到尽头,没办法,那就只能回退了,查看其他的路径,就在棋盘上不停的回溯……
思路图解:
在这里插入图片描述
分析以上算法的问题,并用贪心算法进行优化,解决马踏棋盘问题。
在这里插入图片描述
代码的实现:

public class HorseChessBoard {
     
    private static int x;//棋盘的列
    private static int y;//棋盘的行
    //创建一个数组,标记棋盘的各个位置是否被访问过
    private static boolean visited[];
    //使用一个属性,标记是否棋盘所有的位置都被访问过了
    private static boolean finished;//如果为true,表示成功
    public static void main(String[] args) {
     
        //测试是否正确这个算法
        x=8;
        y=8;
        int row=1;//马尔初始的行
        int column=1;//马儿初始位置的列
        //创建棋盘
        int[][] chessboard=new int[x][y];
        visited=new boolean[x*y];//初始值是false
        //测试一下耗时
        long start=System.currentTimeMillis();
        traversalChessBoard(chessboard,row-1,column-1,1);
        long end=System.currentTimeMillis();
        System.out.println(end-start);
        //输出棋盘的最后情况
        for (int[] rows:chessboard){
     
            for (int step:rows){
     
                System.out.print(step+"\t");
            }
            System.out.println();
        }
    }
    //完成骑士周游问题的算法
    /** * * @param chessBoard 棋盘 * @param row 当前的位置的行 * @param colum 当前的问题的列 * @param step 是第几步,初始位置是第一步开始的 */
    public static void traversalChessBoard(int[][] chessBoard,int row,int colum,int step){
     
        chessBoard[row][colum]=step;
        visited[row*x+colum]=true;//标记该位置已经被访问
        //获取该位置可以走的下一个位置的集合
        ArrayList<Point> ps=nextStep(new Point(colum,row));
        //对ps进行排序,排序的规则就是对所有的Ponit的下一步的位置的数目进行非递减排序
        sort(ps);
        //遍历ps
        while (!ps.isEmpty()){
     
            Point p=ps.remove(0);//取出来可以走的位置
            //判断是否已经被访问过了
            if (!visited[p.y*x+p.x]){
     //说明还没有被访问过
               traversalChessBoard(chessBoard, p.y, p.x, step+1);
            }
        }
        //判断马是否完成
        //说明:step<x*y成立的情况有两种,
        // 1、棋盘到目前为止仍然没有走完
        //2、棋盘处于回溯过程中
        if (step<x*y&&!finished){
     
            chessBoard[row][colum]=0;
            visited[row*x+colum]=false;
        }else {
     
            finished=true;
        }
    }
    /** * 功能:根据当前位置Point,计算马儿还能走那些位置,并且放入到一个集合中,最多有八个位置 * @param curPoint * @return */
    public static ArrayList<Point> nextStep(Point curPoint){
     
        //创建一个ArrayList
        ArrayList<Point> ps=new ArrayList<>();
        //创建一个Point
        Point p1=new Point();
        if ((p1.x=curPoint.x-2)>=0&&(p1.y=curPoint.y-1)>=0){
     
            ps.add(new Point(p1));
        }
        if ((p1.x=curPoint.x-1)>=0&&(p1.y=curPoint.y-2)>=0){
     
            ps.add(new Point(p1));
        }
        if ((p1.x=curPoint.x+1)<x&&(p1.y=curPoint.y-2)>=0){
     
            ps.add(new Point(p1));
        }
        if ((p1.x=curPoint.x+2)<x&&(p1.y=curPoint.y-1)>=0){
     
            ps.add(new Point(p1));
        }
        if ((p1.x=curPoint.x+2)<x&&(p1.y=curPoint.y+1)<y){
     
            ps.add(new Point(p1));
        }
        if ((p1.x=curPoint.x+1)<x&&(p1.y=curPoint.y+2)<y){
     
            ps.add(new Point(p1));
        }
        if ((p1.x=curPoint.x-1)>=0&&(p1.y=curPoint.y+2)<y){
     
            ps.add(new Point(p1));
        }
        if ((p1.x=curPoint.x-2)>=0&&(p1.y=curPoint.y+1)<y){
     
            ps.add(new Point(p1));
        }
        return ps;
    }
    //使用贪心算法对原来的算法进行优化
    //1、我们获取到了当前位置可以走的下一个位置的集合
    //2、我们需要对ps的下一步的所有的point的下一步的所有的集合的数目进行进行非递减排序
    //根据当前这一步所有的下一步的选择位置,进行非递减排序,减少回溯
    public static void sort(ArrayList<Point> ps){
     
        ps.sort(new Comparator<Point>() {
     
            @Override
            public int compare(Point o1, Point o2) {
     
                //获取到o1点的下一步的所有的位置个数
                int count1=nextStep(o1).size();
                int count2=nextStep(o2).size();
                if (count1<count2){
     
                    return -1;
                }else if (count1==count2){
     
                    return 0;
                }else {
     
                    return 1;
                }

            }
        });
    }
}


注意:本文归作者所有,未经作者允许,不得转载

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